建立SIR模型预测疫情走势

前言

近年来，各种全新的传染病层出不穷，还有许多曾经被人类消灭和控制住的传染病也发生变异，再次出现在人们的视野中。这些流行病、传染病对我们造成的袭击事件时有出现，且都造成了程度不一的社会影响。现如今我们正面临着严峻的传染病威胁，在这种情况下如何最大限度的控制疫情，研究疫情走势，从而进行经济和民生调控，降低疫情对人们生活的影响，成为了一个十分重要的课题。流行病学模型分析正是对这一问题的主要解决方案，他可以有效对疫情形势走势进行预测，并提供有利的健康策略和科学措施。

在长期的科学研究中，人们在对传染病模型的研究中以微分方程为基本研究工具基于不同的假设发展出了SI, SIS和SIR模型等较为成熟的理论,这些理论都有助于我们对流行病学发展进行深入分析，从而预测出更为科学的结论。

在此，本文便对一些科学分析模型进行了研究与实践，并对主要的SIR模型加以深化，观察其预测结果并得出一系列结论。

1 模型的建立

1.1 基本假设

在疾病传染期内考察地区的总人数不变, 记为N。

人群分为：

S为易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，容易受到感染的人群；

E为暴露者 (Exposed)，指接触过感染者，但暂时无传播能力，处于潜伏期的人群；

I为感染者 (Infective)，指染上传染病的患者，可以传播给 S 类成员；

R为免疫者 (Recovered)，指具有一定强度免疫力的人，不会因接触I类成员而感染。

1.2 常用模型

1）SI模型

SI模型只考虑易感者和感染者，易感者会因接触不断被感染。

其微分方程为：

其中为感染率。

2）SIS模型

该模型依然只考虑易感者和感染者，感染者得到治疗后会恢复成易感者，且恢复后依然可能得病。

其微分方程为：

其中为感染率，为治愈率。

3）SIR模型

该模型最为常见且普遍。考虑易感者、感染者与康复者，其中感染者接受治疗成为康复者，康复者因为得到抗体不会再成为易感者。

其微分方程为：

其中为感染率，为治愈率。

4）SIRS模型

该模型考虑易感者、感染者与康复者，其中康复者获得抗体能够抵抗一段时间，长时间后抗体浓度下降会成为易感者。

其微分方程为：

其中为感染率，为治愈率，为复感率。

5）SEIR模型

该模型考虑易感者、潜伏者、感染者与康复者，其中易感人群感染后会经历一段时间潜伏期才会爆发。

1.3 模型实现

对上述四种模型进行评估测试，都以0.1%感染率作为起始数据，初始治愈率设定为0.02%。在统一标准下进行数据测试。

SI模型

SI模型运行结果为所有人都被感染。

SIS模型

该模型最后感染人口和健康人口趋于平衡，达到动态平衡。

SIR模型

通过波动调整，最后达到群体免疫。

SIRS模型

波动后，最后达到动态平衡。

1.4模型总结

通过对四种模型进行对比，可以看出SIR模型对现阶段突发性疫情有最准确的拟合效果。可以更加真实的反映出传染病疫情的发展趋势。

相比于SI模型，SIR模型能够更好地考虑康复因素，即感染者在一段时间后可能康复并具有免疫力，这使得SIR模型更能够准确地描述真实的疾病传播情况。

相比于SIS模型，SIR模型考虑了康复因素，这使得SIR模型能够更好地描述疾病在人群中的传播和扩散，特别是在长期时间尺度上。而SIS模型则认为感染者没有获得免疫力，因此该模型更适用于描述一些短暂的疾病流行。

相比于SIRS模型，SIR模型将免疫力获得和失去过程简化为了一次性事件，这样使得模型更加简单易懂，且更适用于描述病毒一次性感染后获得永久免疫力的情况。而SIRS模型则认为康复者可能会失去免疫力，需要重新变为易感者，这使得该模型更适用于描述疾病传播周期较长的情况。

此外SIR模型更加适用于大规模流行病，由于SIR模型考虑了康复因素和免疫力获得和失去过程，因此它更适合于描述大规模流行病的传播。在大规模流行病中，康复者人数占总感染人数的比例可能很高，因此需要一个能够反映康复者影响的模型。

总之，SIR模型可以对流行病疫情发展趋势进行最好的拟合，反映出最为真实的影响。

2 基于SIR模型对新冠疫情走势进行探讨

2.1通过SIR模型建模并实现与现实情况对比

SIR模型计算

主要模型运用过程

2.2对比结果

导入北京2020.1~2020.3的新冠疫情感染数据绘制图像如下

导入英国2020.2~2020.3的新冠疫情感染数据绘制图像如下

以上两组数据左图为每日感染人数，右图为治愈总人数。其中红线为真实值，蓝线为SIR模型推测结果。

2.3结果分析

排除客观检测和数据收集不全等因素，由上表两组对比数据可以看出。

中国北京的推测曲线先有高峰期随后下降。这是由于根据数据推测，北京人口基数大，疫情传播迅速。但事实情况确实我们的发展曲线较为缓和。这是由于有利的疫情封控防护措施所导致的结果。因此由于感染人数较少，右图中的治愈曲线也相对较低，但总趋势与推测趋势相同。

下图中的英国采用的是全民免疫的野蛮发展策略，因此可以看见真实曲线与推测相吻合，说明推测较为成功。也证明SIR模型的推测具有一定的准确性。

3 问题回答

3.1****一种疾病从出现到大规模流行再到遏制，其间三种人群关于时间的函数一般是不同的。例如在早期，感染人数可能大致呈指数增长；到后期，感染人数渐渐趋于0。初步建立的SIR模型是无法表示这种变化的。请读者阅读系列文献，思考改变哪些参数才能表现这种变化？

可以更改的参数大约有一下几项：

β（传染率）：在疫情不同时期，人们的防护意识不同，社交活动范围也会发生变化，传染率可能会随时间推移降低。

γ（恢复率）：随着时间的推移，越来越多的人可能会因为治愈或死亡而从感染者群体中移除，因此恢复率也会随之增加。

μ（死亡率）：死亡率也可能会随着时间的推移而发生变化。在疫情初期，由于疾病的不确定性和缺乏有效的治疗手段，死亡率可能会比较高；而到了后期，随着医疗技术和治疗手段的不断进步，死亡率可能会逐渐降低。

N（总人口数）：在疫情初期，由于社交活动频繁和人员流动性较高，可能会有大量的人进入或离开某个地区，导致总人口数发生变化。

D（疾病持续时间）：在疫情初期，由于疾病的不确定性和缺乏有效的治疗手段，可能会有很多人长期感染；而到了后期，随着治疗手段的不断进步，感染者的平均恢复时间可能会逐渐缩短。

3.2感染和治愈都是需要时间的。在无免疫力者转变为感染者和感染者转变为免疫者的过程中，出现了两类中间人群，他们分别具有那些不同的传染特性？试结合文献，在传统模型中加入这种因素。

SIR模型是忽略中间状态的一种模型，如果需要考虑中间状态。则需要将原本的I类人群更改为E类和I类。其中E类表示处于潜伏期的人群，他们已经感染了病毒，但尚未表现出明显的症状。I类则表示已经表现出症状的感染者。根据这一规律，可以使用之前提到的SEIR模型。

3.3疫情的发生通常是一点爆发、扩散四周的，是否有可能是多点爆发呢？在多点爆发的情况下，疾病的扩散速度是否也是成倍增加呢？什么因素限制了疾病传播几乎无限的加快？

疫情可以由单个感染者引起的一点爆发，然后扩散到周围的人群中。随后引发多点爆发的情况。

在多点爆发的情况下，疾病的扩散速度有可能会成倍增加。但受制于诸多因素，最终会放缓增长趋势。这其中包括感染源的数量、人群密度、人口总量等。

总的来说，控制措施、人口总量和人们的行为都影响着疫情的传播速率，他们限制着疫情不会无限传播。

3.4传染病与卫生统计学强调人的作用。假如人的防疫工作效果可以被量化，那么这种效果主要体现在模型的哪些变量上呢？这些变量对于疾病未来的趋势的影响程度是一样的吗？

主要会体现在模型中的β（传染率）、γ（恢复率）和μ（死亡率）当中。

不同变量对于疾病未来趋势的影响程度必然是不是一样的。在早期阶段，感染率影响程度较大；后期阶段，治愈率和死亡率可能会占更大比重，因为随着时间的推移，越来越多的人可能被感染并且需要接受治疗。

3.5****疫情防控就像一场赛跑，如果不能在疾病造成无法恢复的损失之前组织起有效的防卫，一个物种可能会迎来电影中的那种末日结局。从模型上看，是否存在某些结点，在决定抗疫结果中有着尤其关键的重要意义？

存在着这样的节点。

在感染者快速增长时：如果在此时能够及时采取有效的防疫措施，可以有效遏制疫情的传播，减缓增长速率，放缓防控压力。

在感染后期趋于平缓时：及时推广疫苗接种，并在适当的时间点实施疫苗接种，可以有效提高群体免疫水平，从而减少大面积复阳的风险。

4 总结

4.1建模分析

本次建模只是建立了一个较为基础的模型，可以满足较为基本的流行病学分析计算。但是对于较为复杂，外界影响因素较多的事件进行分析时会显得无法拟合。其他未考虑到的影响因素也应该对其进行数学转化，将其纳入考虑范围。同时面对不同的传染病问题。也应该根据该病特点进行特性化分析，从而采用各位合适的模型。

4.2改进方向

本次建模也还有待改进，在设定传染率时，需要根据一定数据推算传染率，再将其手动填入计算过程当中。这一推算过程可能会受到样本容量影响，导致信息误差大，从而导致计算拟合度低。

数学模型虽然较为单一死板，与其相比真实情况往往会收到多重因素影响。但是如果能够周全考虑各种因素，就可以通过数学建模模拟出更为准确的发展情况。通过不断对模型进行更新升级，就可以用数学的方法解决许多生活中的常见问题，将数学真正应用起来。